Série 2 — équations cartésiennes, représentations paramétriques et positions relatives.
Exercice 1
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur directeur \(\vec u(3\,;4)\).
Correction
\(M(x\,;y)\) appartient à la droite si \(\det(\vec{AM}\,;\vec u) = 0\), soit \(4(x-2) - 3(y+1) = 0\), c'est-à-dire \(4x - 3y - 11 = 0\).
Exercice 2
Déterminer une équation cartésienne puis l'équation réduite de la droite \((AB)\) avec \(A(1\,;3)\) et \(B(5\,;-1)\).
Correction
\(\vec{AB}(4\,;-4)\), donc \(\vec u(1\,;-1)\) est directeur : \(-1(x-1) - 1(y-3) = 0\), soit \(x + y - 4 = 0\). Équation réduite : \(y = -x + 4\).
Exercice 3
Donner une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(-2\,;5)\) et de vecteur directeur \(\vec u(1\,;-3)\).
Correction
\(\begin{cases} x = -2 + t \\ y = 5 - 3t \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\).
Exercice 4
Soit \((D) : 2x - 3y + 6 = 0\).
- Donner un vecteur directeur de \((D)\).
- Donner les coordonnées de deux points de \((D)\).
- Donner l'équation réduite de \((D)\).
Correction
- \(\vec u(3\,;2)\) (pour \(ax + by + c = 0\), un vecteur directeur est \((-b\,;a)\)).
- Pour \(x = 0\) : \((0\,;2)\) ; pour \(y = 0\) : \((-3\,;0)\).
- \(y = \dfrac23x + 2\).
Exercice 5
Étudier la position relative des droites \((D) : 3x - 2y + 1 = 0\) et \((D') : -6x + 4y + 5 = 0\).
Correction
Vecteurs directeurs : \(\vec u(2\,;3)\) et \(\vec v(-4\,;-6)\) ; \(\det = 2\times(-6) - 3\times(-4) = 0\) : les droites sont parallèles. Le point \((0\,;0{,}5)\) appartient à \((D)\) mais pas à \((D')\) : elles sont strictement parallèles.
Exercice 6
Calculer les coordonnées du point d'intersection de \((D) : x + 2y - 7 = 0\) et \((D') : 3x - y - 7 = 0\).
Correction
De la seconde : \(y = 3x - 7\). En substituant : \(x + 6x - 14 - 7 = 0\), donc \(7x = 21\), \(x = 3\) et \(y = 2\) : le point est \((3\,;2)\).
Exercice 7
Déterminer \(m\) pour que les droites \((D) : mx + 3y - 1 = 0\) et \((D') : 2x + (m+1)y + 4 = 0\) soient parallèles.
Correction
Vecteurs directeurs \(\vec u(-3\,;m)\) et \(\vec v(-(m+1)\,;2)\) ; \(\det = -6 + m(m+1) = 0\), soit \(m^2 + m - 6 = 0\) : \(m = 2\) ou \(m = -3\).