Durée : 1 heure. Barème sur 20. Le plan est muni d'un repère.
Exercice 1 (5 pts)
\(A(1\,;-2)\) et \(\vec u(2\,;5)\).
- Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\). (3 pts)
- Donner une représentation paramétrique de \((D)\). (2 pts)
Correction
- \(5(x-1) - 2(y+2) = 0\), soit \(5x - 2y - 9 = 0\).
- \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + 5t \end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \((\Delta) : 4x + 3y - 12 = 0\).
- Donner un vecteur directeur de \((\Delta)\). (2 pts)
- Donner son équation réduite et ses points d'intersection avec les axes. (3 pts)
Correction
- \(\vec v(-3\,;4)\).
- \(y = -\dfrac43x + 4\) ; intersections : \((0\,;4)\) et \((3\,;0)\).
Exercice 3 (5 pts)
Étudier la position relative de \((D) : 2x - y + 3 = 0\) et \((D') : 4x - 2y - 1 = 0\), puis conclure.
Correction
\(\vec u(1\,;2)\) et \(\vec v(2\,;4)\) : \(\det = 1\times4 - 2\times2 = 0\), les droites sont parallèles. \((0\,;3)\in(D)\) et \(4\times0 - 2\times3 - 1 = -7 \ne 0\) : elles sont strictement parallèles.
Exercice 4 (5 pts)
Calculer les coordonnées du point d'intersection de \((D) : 2x + y - 8 = 0\) et \((D') : x - 3y + 3 = 0\).
Correction
De la seconde : \(x = 3y - 3\). Alors \(6y - 6 + y - 8 = 0\), donc \(7y = 14\), \(y = 2\) et \(x = 3\) : le point est \((3\,;2)\).