L'essentiel en une page
Divisibilité : \(b\mid a\) s'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(a = kb\).
| Divisible par | Critère |
|---|---|
| \(2\) | le chiffre des unités est \(0,2,4,6,8\) |
| \(3\) | la somme des chiffres est divisible par \(3\) |
| \(4\) | le nombre formé par les deux derniers chiffres l'est |
| \(5\) | le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) |
| \(9\) | la somme des chiffres est divisible par \(9\) |
| \(10\) | le chiffre des unités est \(0\) |
Nombre premier : exactement deux diviseurs, \(1\) et lui-même. \(1\) n'est pas premier ; \(2\) est le seul premier pair.
Décomposition : tout entier \(\ge 2\) s'écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers.
| Notion | Méthode |
|---|---|
| PGCD | produit des facteurs communs au plus petit exposant |
| PPCM | produit de tous les facteurs au plus grand exposant |
| Algorithme d'Euclide | divisions successives ; le PGCD est le dernier reste non nul |
| Relation | \(\mathrm{PGCD}\times\mathrm{PPCM} = a\times b\) |
Ce que je dois savoir faire
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
- Calculer un PGCD et un PPCM par les deux méthodes.
- Appliquer l'algorithme d'Euclide en posant chaque division.
- Reconnaître une situation de PGCD (partager, découper) ou de PPCM (se retrouver, coïncider).
- Démontrer une divisibilité à l'aide de la forme \(2k\) ou \(2k+1\).
Les pièges à éviter
- Pour tester si \(n\) est premier, il suffit d'essayer les premiers jusqu'à \(\sqrt n\).
- Le PGCD prend les facteurs communs au plus petit exposant, le PPCM tous au plus grand.
- « Partager en parts identiques les plus grandes » \(\rightarrow\) PGCD ; « se retrouver ensemble » \(\rightarrow\) PPCM.
- \(1\) n'est pas un nombre premier.
Testez-vous en 3 minutes
Décomposer \(300\) ; PGCD de \(36\) et \(60\) ; PPCM de \(6\) et \(8\) ; \(147\) est-il premier ?
Réponses
\(2^2\times3\times5^2\) ; \(12\) ; \(24\) ; non, \(147 = 3\times7^2\).