Série 2 — divisibilité, nombres premiers, PGCD et PPCM.
Exercice 1
Décomposer en produit de facteurs premiers : \(360\), \(1\,176\) et \(2\,025\).
Correction
\(360 = 2^3\times3^2\times5\) ; \(1\,176 = 2^3\times3\times7^2\) ; \(2\,025 = 3^4\times5^2\).
Exercice 2
Déterminer le PGCD et le PPCM de \(84\) et \(120\), d'abord par décomposition puis par l'algorithme d'Euclide.
Correction
\(84 = 2^2\times3\times7\) et \(120 = 2^3\times3\times5\), donc \(\mathrm{PGCD} = 2^2\times3 = 12\) et \(\mathrm{PPCM} = 2^3\times3\times5\times7 = 840\). Euclide : \(120 = 1\times84 + 36\) ; \(84 = 2\times36 + 12\) ; \(36 = 3\times12 + 0\) : le dernier reste non nul est \(12\).
Exercice 3
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le nombre \(n^2 + n\) est divisible par \(2\).
Correction
\(n^2 + n = n(n+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs : l'un des deux est pair, donc le produit est divisible par \(2\).
Exercice 4
Un fleuriste dispose de \(120\) roses et de \(180\) tulipes. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
- Combien de bouquets peut-il faire ?
- Quelle est la composition de chaque bouquet ?
Correction
- \(\mathrm{PGCD}(120\,;180) = 60\) : il peut faire \(60\) bouquets.
- Chaque bouquet contient \(2\) roses et \(3\) tulipes.
Exercice 5
Deux phares s'allument respectivement toutes les \(18\) secondes et toutes les \(24\) secondes. Ils s'allument ensemble à midi pile. À quelle heure s'allumeront-ils de nouveau ensemble ?
Correction
\(\mathrm{PPCM}(18\,;24) = 72\) secondes, soit \(1\) min \(12\) s : à \(12\) h \(01\) min \(12\) s.
Exercice 6
- Montrer que \(\mathrm{PGCD}(a\,;b)\times\mathrm{PPCM}(a\,;b) = a\times b\) sur l'exemple \(a = 84\) et \(b = 120\).
- Le PGCD de deux nombres est \(14\) et leur PPCM est \(420\). Quel est leur produit ?
Correction
- \(12\times840 = 10\,080\) et \(84\times120 = 10\,080\) : l'égalité est vérifiée.
- \(14\times420 = 5\,880\).
Exercice 7
Montrer que \(221\) n'est pas premier, puis déterminer tous ses diviseurs.
Correction
\(221 = 13\times17\), donc il n'est pas premier. Ses diviseurs sont \(1\), \(13\), \(17\) et \(221\).