Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Décomposer \(504\) et \(540\) en produits de facteurs premiers. (3 pts)
- En déduire leur PGCD et leur PPCM. (2 pts)
Correction
- \(504 = 2^3\times3^2\times7\) et \(540 = 2^2\times3^3\times5\).
- \(\mathrm{PGCD} = 2^2\times3^2 = 36\) ; \(\mathrm{PPCM} = 2^3\times3^3\times5\times7 = 7\,560\).
Exercice 2 (5 pts)
Déterminer le PGCD de \(1\,071\) et \(462\) par l'algorithme d'Euclide, en détaillant chaque division.
Correction
\(1\,071 = 2\times462 + 147\) ; \(462 = 3\times147 + 21\) ; \(147 = 7\times21 + 0\). Le dernier reste non nul est \(21\) : \(\mathrm{PGCD} = 21\).
Exercice 3 (5 pts)
- Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le nombre \(n(n+1)(n+2)\) est divisible par \(6\). (3 pts)
- Vérifier pour \(n = 5\). (2 pts)
Correction
- Parmi trois entiers consécutifs, l'un au moins est pair (divisible par \(2\)) et l'un exactement est divisible par \(3\). Le produit est donc divisible par \(2\times3 = 6\).
- \(5\times6\times7 = 210 = 6\times35\).
Exercice 4 (5 pts)
On veut découper une plaque rectangulaire de \(144\) cm sur \(180\) cm en carrés identiques les plus grands possibles, sans perte.
- Quelle est la longueur du côté de chaque carré ? (3 pts)
- Combien de carrés obtient-on ? (2 pts)
Correction
- \(\mathrm{PGCD}(144\,;180) = 36\) : le côté mesure \(36\) cm.
- \(\dfrac{144}{36}\times\dfrac{180}{36} = 4\times5 = 20\) carrés.