Série 2 — démonstrations, triangles isocèles et polygones.
Exercice 1
Dans un cercle de centre \(O\), \(\widehat{AOB} = 110°\) et \(M\) est sur le grand arc.
- Calculer \(\widehat{AMB}\).
- Montrer que le triangle \(OAB\) est isocèle et calculer \(\widehat{OAB}\).
Correction
- \(\widehat{AMB} = 55°\).
- \(OA = OB\) (rayons) donc \(OAB\) est isocèle en \(O\) ; \(\widehat{OAB} = \dfrac{180 - 110}{2} = 35°\).
Exercice 2
\([AB]\) est un diamètre d'un cercle de centre \(O\), et \(M\) est un point du cercle avec \(\widehat{MAB} = 32°\).
- Donner la nature du triangle \(AMB\).
- Calculer \(\widehat{MBA}\) et \(\widehat{MOB}\).
Correction
- Rectangle en \(M\).
- \(\widehat{MBA} = 58°\) ; \(\widehat{MOB} = 2\times\widehat{MAB} = 64°\).
Exercice 3
Dans un cercle, deux angles inscrits \(\widehat{AMB}\) et \(\widehat{ANB}\) interceptent le même arc, avec \(\widehat{AMB} = 3x - 10\) et \(\widehat{ANB} = 2x + 15\).
- Écrire l'équation.
- Calculer \(x\) et la mesure commune.
Correction
- \(3x - 10 = 2x + 15\).
- \(x = 25\) et chaque angle mesure \(65°\).
Exercice 4
Un polygone régulier a un angle de \(150°\).
- Écrire l'équation vérifiée par \(n\).
- Combien a-t-il de côtés ?
Correction
- \(\dfrac{(n-2)\times180}{n} = 150\).
- \(180n - 360 = 150n\) donc \(30n = 360\) et \(n = 12\) côtés.
Exercice 5
Un hexagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon \(6\) cm.
- Quelle est la nature de chaque triangle formé par deux sommets consécutifs et le centre ?
- En déduire la longueur d'un côté, puis le périmètre.
Correction
- L'angle au centre vaut \(60°\) et les deux rayons sont égaux : chaque triangle est équilatéral.
- Le côté mesure \(6\) cm et le périmètre \(36\) cm.
Exercice 6
\(ABCD\) est un quadrilatère inscrit dans un cercle, avec \(\widehat{A} = 85°\). On admet que les angles opposés d'un quadrilatère inscrit sont supplémentaires. Calculer \(\widehat{C}\).
Correction
\(\widehat{C} = 180 - 85 = 95°\).