1. Définitions
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\).
- Un angle au centre a pour sommet le centre \(O\).
- Un angle inscrit a son sommet sur le cercle, et ses côtés coupent le cercle.
Si \(A\), \(B\), \(M\) sont sur \(\mathcal{C}\), l'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) et l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{AB}\) (celui qui ne contient pas \(M\)).
Figure — l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre
2. Propriété fondamentale
La mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc : \(\widehat{AMB} = \frac12\widehat{AOB}\).
3. Conséquence
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
Cas particulier : si \([AB]\) est un diamètre, \(\widehat{AOB} = 180°\) et tout angle inscrit \(\widehat{AMB}\) vaut \(90°\).
4. Polygones réguliers
Un polygone régulier à \(n\) côtés est inscrit dans un cercle ; chaque angle au centre mesure \(\frac{360°}{n}\).
Exemples : triangle équilatéral \(120°\) ; carré \(90°\) ; hexagone régulier \(60°\) (ses côtés sont égaux au rayon).