Durée : 45 minutes. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
\(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont sur un cercle de centre \(O\), avec \(C\) et \(D\) du même côté de \((AB)\). On donne \(\widehat{ACB} = 42°\).
- Calculer \(\widehat{ADB}\). Justifier. (3 pts)
- Calculer \(\widehat{AOB}\), puis \(\widehat{OAB}\). (5 pts)
Correction
- \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{ADB}\) interceptent le même arc : \(\widehat{ADB} = 42°\).
- \(\widehat{AOB} = 84°\) ; \(OAB\) isocèle en \(O\) : \(\widehat{OAB} = \frac{180° - 84°}{2} = 48°\).
Exercice 2 (6 pts)
\(ABCDEF\) est un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre \(O\) et de rayon \(4\) cm. Calculer \(\widehat{AOB}\), la nature du triangle \(AOB\), et le périmètre de l'hexagone.
Correction
\(\widehat{AOB} = 60°\) ; \(OAB\) isocèle en \(O\) avec un angle de \(60°\) : il est équilatéral, donc \(AB = 4\) cm. Périmètre : \(24\) cm.
Exercice 3 (6 pts)
\([AB]\) est un diamètre d'un cercle de rayon \(5\) cm et \(M\) un point du cercle tel que \(AM = 6\) cm. Calculer \(BM\) et \(\cos\widehat{BAM}\).
Correction
\(\widehat{AMB} = 90°\) et \(AB = 10\) : \(BM = \sqrt{100 - 36} = 8\) cm. \(\cos\widehat{BAM} = \frac{AM}{AB} = 0{,}6\).