Série 2 — figures composées, relations et problèmes concrets.
Exercice 1
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 8\) cm et \(\widehat{B} = 42°\).
- Calculer \(AC\) puis \(BC\).
- Calculer l'aire du triangle.
Correction
- \(AC = 8\times\tan(42°)\approx7{,}2\) cm ; \(BC = \dfrac{8}{\cos(42°)}\approx10{,}8\) cm.
- \(\mathcal{A}\approx\dfrac{8\times7{,}2}{2}\approx28{,}8\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 2
Si \(\sin x = \dfrac35\), calculer \(\cos x\) et \(\tan x\) en valeurs exactes.
Correction
\(\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\) donc \(\cos x = \dfrac45\) ; \(\tan x = \dfrac{3}{4}\).
Exercice 3
Un triangle isocèle \(ABC\) en \(A\) a pour base \(BC = 14\) cm et pour côtés \(AB = AC = 25\) cm.
- Calculer \(\cos\widehat{B}\).
- En déduire \(\widehat{B}\), puis \(\widehat{A}\).
Correction
- \(H\) milieu de \([BC]\) : \(\cos\widehat{B} = \dfrac{7}{25} = 0{,}28\).
- \(\widehat{B}\approx73{,}7°\), \(\widehat{C} = \widehat{B}\), donc \(\widehat{A}\approx32{,}6°\).
Exercice 4
Un avion décolle avec un angle de \(12°\) par rapport à l'horizontale et parcourt \(3\) km dans les airs.
- Quelle altitude a-t-il atteinte ?
- Quelle distance horizontale a-t-il parcourue ?
Correction
- \(h = 3\times\sin(12°)\approx0{,}62\) km, soit environ \(620\) m.
- \(d = 3\times\cos(12°)\approx2{,}93\) km.
Exercice 5
Une rampe doit monter de \(1{,}2\) m sur une longueur horizontale de \(8\) m. Quel angle fait-elle avec le sol ?
Correction
\(\tan\alpha = \dfrac{1{,}2}{8} = 0{,}15\), donc \(\alpha\approx8{,}5°\).
Exercice 6
Montrer que pour un angle aigu \(x\), \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).
Correction
\(\dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\text{opposé}/\text{hyp}}{\text{adjacent}/\text{hyp}} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan x\).
Exercice 7
Du haut d'un phare de \(45\) m, on voit un bateau sous un angle de dépression de \(20°\). À quelle distance du pied du phare se trouve le bateau ?
Correction
\(\tan(20°) = \dfrac{45}{d}\), donc \(d = \dfrac{45}{\tan(20°)}\approx123{,}6\) m.