Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
\(x\) est un angle aigu tel que \(\cos x = \frac{\sqrt3}{3}\). Calculer \(\sin x\) et \(\tan x\).
Correction
\(\sin^2x = 1 - \frac{3}{9} = \frac23\), donc \(\sin x = \sqrt{\frac23} = \frac{\sqrt6}{3}\). \(\tan x = \frac{\sqrt6}{\sqrt3} = \sqrt2\).
Exercice 2 (6 pts)
Montrer que pour tout angle aigu \(x\) : \((\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 = 2\).
Correction
On développe : \(\cos^2x + 2\cos x\sin x + \sin^2x + \cos^2x - 2\cos x\sin x + \sin^2x = 2(\cos^2x + \sin^2x) = 2\).
Exercice 3 (8 pts)
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 4\) cm et \(\widehat B = 30°\).
- Calculer \(BC\) et \(AC\) (valeurs exactes). (5 pts)
- \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\). Calculer \(AH\). (3 pts)
Correction
- \(\cos30° = \frac{AB}{BC}\) donc \(BC = \frac{4}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{8}{\sqrt3} = \frac{8\sqrt3}{3}\) cm. \(AC = AB\tan30° = \frac{4\sqrt3}{3}\) cm.
- Dans \(ABH\) rectangle en \(H\) : \(AH = AB\sin30° = 2\) cm.