1. Le théorème de Pythagore
Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) (\([BC]\) est l'hypoténuse, le plus grand côté).
Figure — triangle rectangle en A : BC² = AB² + AC²
Il sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle :
- \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\) ;
- \(AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}\).
Exemple : \(AB = 2\sqrt3\) et \(AC = 2\) donnent \(BC^2 = 12 + 4 = 16\), donc \(BC = 4\).
2. La réciproque
Si dans un triangle \(ABC\) on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Elle sert à démontrer qu'un triangle est rectangle (donc que deux droites sont perpendiculaires).
Méthode
On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés :
- s'ils sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque) ;
- s'ils sont différents, le triangle n'est pas rectangle.
Exemple : \(AB = \sqrt5\), \(AC = 2\sqrt5\), \(BC = 5\). On a \(BC^2 = 25\) et \(AB^2 + AC^2 = 5 + 20 = 25\) : le triangle est rectangle en \(A\).
3. Applications
Diagonale d'un carré et d'un rectangle
La diagonale d'un carré de côté \(a\) mesure \(a\sqrt2\) ; celle d'un rectangle de dimensions \(L\) et \(\ell\) mesure \(\sqrt{L^2 + \ell^2}\).
Hauteur d'un triangle équilatéral
La hauteur d'un triangle équilatéral de côté \(a\) mesure \(\frac{a\sqrt3}{2}\).
En effet, le pied \(H\) de la hauteur est le milieu du côté : \(h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}\).
Dans l'espace
La grande diagonale d'un pavé droit de dimensions \(a\), \(b\), \(c\) mesure \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) (on applique deux fois le théorème). Pour un cube d'arête \(a\) : \(a\sqrt3\).