Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
\(RST\) est rectangle en \(S\) avec \(RS = \sqrt{11}\) et \(ST = 5\).
- Calculer \(RT\).
- Calculer l'aire du triangle \(RST\).
Correction
- \(RT^2 = 11 + 25 = 36\), \(RT = 6\).
- \(\mathcal{A} = \frac{\sqrt{11}\times5}{2} = \frac{5\sqrt{11}}{2}\).
Exercice 2 (6 pts)
On donne \(AB = 7{,}5\) cm, \(AC = 4{,}5\) cm et \(BC = 6\) cm. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Justifier.
Correction
Le plus grand côté est \(AB\) : \(AB^2 = 56{,}25\) et \(AC^2 + BC^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(C\).
Exercice 3 (8 pts)
\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB = 8\) cm et \(BC = 6\) cm. \(E\) est le point de \([AB]\) tel que \(AE = 2\) cm.
- Calculer \(AC\).
- Calculer \(DE\) et \(EC\) (on donnera \(EC\) sous la forme \(a\sqrt{b}\)).
- Le triangle \(DEC\) est-il rectangle en \(E\) ?
Correction
- \(AC^2 = 64 + 36 = 100\), \(AC = 10\) cm.
- \(DE^2 = AD^2 + AE^2 = 36 + 4 = 40\), \(DE = 2\sqrt{10}\) cm. \(EB = 6\) cm, \(EC^2 = EB^2 + BC^2 = 36 + 36 = 72\), \(EC = 6\sqrt2\) cm.
- \(DC^2 = 64\) et \(DE^2 + EC^2 = 40 + 72 = 112\neq64\) : le triangle \(DEC\) n'est pas rectangle en \(E\).