1. Le théorème
Soit \(ABC\) un triangle, \(M\) un point de \((AB)\) et \(N\) un point de \((AC)\). Si \((MN)\parallel(BC)\) alors :
\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\]
Cela marche dans les deux configurations : \(M\) et \(N\) sur les côtés, ou de l'autre côté de \(A\) (configuration « papillon »).
Figure — les deux configurations de Thalès
Exemple
\(AM = 3\), \(AB = 5\), \(AC = 7{,}5\) et \(BC = 6\) avec \((MN)\parallel(BC)\). Alors \(\frac{3}{5} = \frac{AN}{7{,}5} = \frac{MN}{6}\), donc \(AN = 4{,}5\) et \(MN = 3{,}6\).
2. La réciproque
Si les points \(A\), \(M\), \(B\) d'une part et \(A\), \(N\), \(C\) d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\), alors \((MN)\parallel(BC)\).
3. La contraposée
Si \(\frac{AM}{AB}\neq\frac{AN}{AC}\), alors les droites \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles.
4. Application : partager un segment
Pour partager \([AB]\) en \(3\) parts égales : on trace une demi-droite d'origine \(A\), on y reporte \(3\) longueurs égales \(AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3\), on joint \(A_3\) à \(B\) et on trace les parallèles à \((A_3B)\) passant par \(A_1\) et \(A_2\).