1. Ordre et addition
\(a\le b\) équivaut à \(a - b\le0\). Pour tout réel \(c\) : si \(a\le b\) alors \(a + c\le b + c\).
2. Ordre et multiplication
Si \(a\le b\) et \(c > 0\) alors \(ac\le bc\).
Si \(a\le b\) et \(c < 0\) alors \(ac\ge bc\) (le sens change).
Exemple : \(x\ge4\) donne \(-3x\le-12\).
3. Somme et produit d'inégalités
Si \(a\le b\) et \(c\le d\), alors \(a + c\le b + d\).
Pour des nombres positifs : si \(0\le a\le b\) et \(0\le c\le d\), alors \(ac\le bd\).
4. Carrés, racines et inverses
Pour \(a\) et \(b\) positifs : \(a\le b\Leftrightarrow a^2\le b^2\Leftrightarrow\sqrt a\le\sqrt b\).
Pour \(a\) et \(b\) strictement positifs : \(a\le b\Leftrightarrow\frac1a\ge\frac1b\).
Exemple : comparer \(3\sqrt2\) et \(2\sqrt5\) : \((3\sqrt2)^2 = 18\) et \((2\sqrt5)^2 = 20\), donc \(3\sqrt2 < 2\sqrt5\).
5. Encadrement
Si \(2 < x < 3\) et \(1 < y < 4\) :
- \(3 < x + y < 7\) ;
- pour \(x - y\) : \(-4 < -y < -1\), donc \(-2 < x - y < 2\) ;
- \(2 < xy < 12\).
On ne soustrait jamais deux encadrements directement : on ajoute l'opposé.
Figure — les réels \(x\) tels que \(2\le x\le5\) forment un intervalle