Durée : 45 minutes. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Comparer : \(\sqrt{13}\) et \(3{,}6\) ; \(\frac{1}{\sqrt3}\) et \(\frac{1}{\sqrt2}\).
Correction
\(3{,}6^2 = 12{,}96 < 13\), donc \(\sqrt{13} > 3{,}6\). \(\sqrt3 > \sqrt2 > 0\) donc \(\frac{1}{\sqrt3} < \frac{1}{\sqrt2}\).
Exercice 2 (8 pts)
On sait que \(2\le a\le5\) et \(1\le b\le4\). Encadrer :
- \(a + 2b\) (2 pts)
- \(a - b\) (3 pts)
- \(ab\) et \(\frac{a}{b}\) (3 pts)
Correction
- \(2\le2b\le8\) donc \(4\le a + 2b\le13\).
- \(-4\le-b\le-1\) donc \(-2\le a - b\le4\).
- \(2\le ab\le20\). \(\frac14\le\frac1b\le1\) donc \(\frac12\le\frac ab\le5\).
Exercice 3 (6 pts)
- Développer \((a - b)^2\). (2 pts)
- En déduire que pour tous réels \(a\) et \(b\) : \(a^2 + b^2\ge2ab\). (4 pts)
Correction
- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
- Un carré est positif : \(a^2 - 2ab + b^2\ge0\), donc \(a^2 + b^2\ge2ab\).