1. Définition
Pour un réel positif \(a\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré est \(a\).
\[\left(\sqrt{a}\right)^2 = a \quad\text{et}\quad \sqrt{a^2} = a\ \ (a\ge0)\]
Exemples : \(\sqrt{49} = 7\) ; \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\) ; \(\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac25\).
Attention : \(\sqrt{a}\) n'existe pas si \(a < 0\), et \(\sqrt{x^2} = x\) seulement si \(x\ge0\) (sinon c'est \(-x\)).
Figure — un carré d'aire \(2\) a pour côté \(\sqrt2\)
2. Propriétés
Pour \(a\ge0\) et \(b\ge0\) : \(\sqrt{a\times b} = \sqrt{a}\times\sqrt{b}\) ; pour \(b > 0\) : \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
Exemples : \(\sqrt{50} = \sqrt{25\times2} = 5\sqrt2\) ; \(\sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt3}{4}\).
Attention : en général \(\sqrt{a + b}\neq\sqrt a + \sqrt b\). Exemple : \(\sqrt{9 + 16} = 5\) mais \(\sqrt9 + \sqrt{16} = 7\).
3. Calculs
Réduire une somme
\(3\sqrt{12} - \sqrt{27} = 3\times2\sqrt3 - 3\sqrt3 = 3\sqrt3\).
Rendre rationnel un dénominateur
\(\frac{6}{\sqrt3} = \frac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3\) ; \(\frac{1}{\sqrt5 - 2} = \frac{\sqrt5 + 2}{(\sqrt5 - 2)(\sqrt5 + 2)} = \frac{\sqrt5 + 2}{5 - 4} = \sqrt5 + 2\).
4. Équation \(x^2 = a\)
- si \(a > 0\) : deux solutions \(\sqrt a\) et \(-\sqrt a\) ;
- si \(a = 0\) : une solution \(0\) ;
- si \(a < 0\) : pas de solution.