1. Définitions
Pour un réel \(a\) et un entier naturel \(n\ge1\) : \(a^n = a\times a\times\dots\times a\) (\(n\) facteurs). Par convention \(a^0 = 1\) (\(a\neq0\)).
Pour \(a\neq0\) : \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
Exemples : \((-2)^3 = -8\) ; \(5^{-2} = \frac{1}{25}\) ; \(\left(\frac23\right)^{-1} = \frac32\).
Signe
Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair : \((-3)^4 = 81\) et \((-3)^3 = -27\).
2. Propriétés
Pour \(a\neq0\), \(b\neq0\) et \(m\), \(n\) entiers relatifs :
| Règle | Exemple |
|---|---|
| \(a^m\times a^n = a^{m + n}\) | \(2^3\times2^4 = 2^7\) |
| \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\) | \(\frac{7^5}{7^8} = 7^{-3}\) |
| \((a^m)^n = a^{mn}\) | \((3^2)^4 = 3^8\) |
| \((ab)^n = a^nb^n\) | \((2x)^3 = 8x^3\) |
| \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\frac{x}{5}\right)^2 = \frac{x^2}{25}\) |
3. Puissances de 10 et écriture scientifique
\(10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}\) et \(10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\dots0}_{n - 1}1\).
L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif est \(a\times10^p\) avec \(1\le a < 10\) et \(p\) entier relatif.
Exemples : \(45\,300 = 4{,}53\times10^4\) ; \(0{,}00072 = 7{,}2\times10^{-4}\).
Ordre de grandeur : on arrondit \(a\) à l'unité. Exemple : \(4{,}53\times10^4\approx5\times10^4\).