1. Développer
Développer un produit, c'est l'écrire sous forme d'une somme.
\[k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\]
Exemple : \((2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\).
2. Les identités remarquables
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
\[(a - b)(a + b) = a^2 - b^2\]
Figure — \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) : lecture par les aires
Exemples
- \((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\)
- \((3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\)
- \((2x - 7)(2x + 7) = 4x^2 - 49\)
Calcul mental
\(101^2 = (100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201\) et \(49\times51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499\).
3. Factoriser
Factoriser une somme, c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Avec un facteur commun
\(ka + kb = k(a + b)\). Exemple : \((x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 4) = (x + 2)(4x + 3)\).
Avec une identité remarquable
- \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)
- \(25x^2 - 20x + 4 = (5x - 2)^2\)
- \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\)
- \((x + 1)^2 - 9 = (x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = (x - 2)(x + 4)\)
Méthode : on cherche d'abord un facteur commun ; sinon on reconnaît une identité remarquable.