Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
\(ABC\) est un triangle avec \(AB = 8\), \(AC = 6\), \(BC = 10\). \(E\) est le point de \([AB]\) tel que \(AE = 2\) ; la parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) coupe \([AC]\) en \(F\).
- Calculer \(AF\) et \(EF\). (4 pts)
- Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(A\). (4 pts)
Correction
- \(\frac{AE}{AB} = \frac{2}{8} = \frac14\), donc \(AF = \frac64 = 1{,}5\) et \(EF = \frac{10}{4} = 2{,}5\).
- \(AB^2 + AC^2 = 64 + 36 = 100 = BC^2\) : d'après la réciproque de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Exercice 2 (6 pts)
Les droites \((DE)\) et \((GH)\) se coupent en \(O\), avec \(D\), \(O\), \(E\) alignés dans cet ordre et \(G\), \(O\), \(H\) alignés dans cet ordre. \(OD = 5\), \(OE = 7{,}5\), \(OG = 4\), \(OH = 6\). Les droites \((DG)\) et \((EH)\) sont-elles parallèles ?
Correction
\(\frac{OD}{OE} = \frac{5}{7{,}5} = \frac23\) et \(\frac{OG}{OH} = \frac46 = \frac23\). Les points sont alignés dans le même ordre, donc \((DG)\parallel(EH)\).
Exercice 3 (6 pts)
Partager un segment \([AB]\) de \(7\) cm en \(5\) parties égales à la règle non graduée et au compas. Rédiger la construction et justifier.
Correction
On trace une demi-droite \([Ax)\), on y reporte au compas \(5\) longueurs égales : \(A_1, \dots, A_5\). On trace \((A_5B)\), puis les parallèles à \((A_5B)\) passant par \(A_1, \dots, A_4\) ; elles coupent \([AB]\) en \(4\) points. D'après Thalès, \(\frac{AB_k}{AB} = \frac{AA_k}{AA_5} = \frac{k}{5}\) : les parties sont égales (\(1{,}4\) cm chacune).