Exercice 1
\(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 3\sqrt2\) et \(AC = \sqrt7\). Calculer \(BC\).
Correction
\(BC^2 = 18 + 7 = 25\), donc \(BC = 5\).
Exercice 2
\(EFG\) est rectangle en \(F\) avec \(EG = 9\) et \(EF = 3\sqrt5\). Calculer \(FG\).
Correction
\(FG^2 = 81 - 45 = 36\), donc \(FG = 6\).
Exercice 3
Le triangle \(MNP\) tel que \(MN = 2\sqrt3\), \(NP = 2\) et \(MP = 4\) est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?
Correction
Le plus grand côté est \(MP\) : \(MP^2 = 16\) et \(MN^2 + NP^2 = 12 + 4 = 16\). D'après la réciproque, \(MNP\) est rectangle en \(N\).
Exercice 4
Calculer la hauteur d'un triangle équilatéral de côté \(6\) cm (valeur exacte puis arrondie au mm), puis son aire exacte.
Correction
\(h = \frac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\approx5{,}2\) cm. Aire : \(\frac{6\times3\sqrt3}{2} = 9\sqrt3\) cm².
Exercice 5
Un pavé droit a pour dimensions \(AB = 4\) cm, \(BC = 3\) cm et \(CG = 12\) cm. Calculer la diagonale \(AC\) de la base puis la grande diagonale \(AG\).
Correction
\(AC^2 = 16 + 9 = 25\), \(AC = 5\) cm. Le triangle \(ACG\) est rectangle en \(C\) : \(AG^2 = 25 + 144 = 169\), \(AG = 13\) cm.
Exercice 6
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;6)\) et \(C(5\,;-1)\). Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\), puis montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle.
Correction
\(AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25\) ; \(AC^2 = 4^2 + (-3)^2 = 25\) ; \(BC^2 = 1^2 + (-7)^2 = 50\). Donc \(AB = AC = 5\) et \(BC = 5\sqrt2\). Comme \(AB^2 + AC^2 = 50 = BC^2\), le triangle est rectangle (et isocèle) en \(A\).