L'essentiel en une page
Théorème : \(ABC\) rectangle en \(A\) \(\Rightarrow\) \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Réciproque : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) \(\Rightarrow\) rectangle en \(A\).
| Je cherche… | Je fais… |
|---|---|
| l'hypoténuse | j'additionne les carrés |
| un côté de l'angle droit | je soustrais les carrés |
| à prouver un angle droit | je compare les deux calculs |
Formules utiles : diagonale d'un carré de côté \(a\) : \(a\sqrt2\) · hauteur d'un triangle équilatéral de côté \(a\) : \(\dfrac{a\sqrt3}{2}\).
Distance dans un repère : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\).
Triplets : \((3\,;4\,;5)\) · \((5\,;12\,;13)\) · \((8\,;15\,;17)\) · \((7\,;24\,;25)\) · \((20\,;21\,;29)\) et leurs multiples.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer une longueur, en valeur exacte puis approchée.
- Démontrer qu'un triangle est rectangle (ou qu'il ne l'est pas).
- Appliquer Pythagore dans un losange, un trapèze, un cube, un cône.
- Calculer une distance dans un repère orthonormé.
Les pièges à éviter
- Repérer d'abord le plus grand côté avant d'utiliser la réciproque.
- \(BC^2 = 50\) donne \(BC = \sqrt{50} = 5\sqrt2\), à simplifier.
- Le théorème ne vaut que dans un triangle rectangle.
- Dans un repère, ne pas oublier les carrés des différences.
Testez-vous en 3 minutes
\(AB = 15\), \(AC = 20\), rectangle en \(A\) : \(BC\) ? Diagonale d'un carré de côté \(6\) ? Le triplet \((9\,;40\,;41)\) est-il pythagoricien ?
Réponses
\(BC = 25\) ; \(6\sqrt2\approx8{,}5\) ; oui, car \(41^2 = 1\,681 = 81 + 1\,600\).