Série 2 — figures composées, solides et repère.
Exercice 1
Un triangle équilatéral a un côté de \(8\) cm.
- Calculer sa hauteur en valeur exacte.
- En déduire son aire.
Correction
- \(h^2 = 64 - 16 = 48\), donc \(h = 4\sqrt3\) cm.
- \(\mathcal{A} = \dfrac{8\times4\sqrt3}{2} = 16\sqrt3\approx27{,}7\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 2
Un trapèze rectangle a des bases de \(12\) cm et \(7\) cm et une hauteur de \(12\) cm. Calculer son quatrième côté.
Correction
Le côté oblique est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(12\) cm et \(12 - 7 = 5\) cm : \(c^2 = 144 + 25 = 169\), donc \(c = 13\) cm.
Exercice 3
Dans un cube d'arête \(6\) cm :
- Calculer la diagonale d'une face en valeur exacte.
- Calculer la grande diagonale du cube.
Correction
- \(d^2 = 36 + 36 = 72\), donc \(d = 6\sqrt2\) cm.
- \(D^2 = (6\sqrt2)^2 + 36 = 72 + 36 = 108\), donc \(D = 6\sqrt3\approx10{,}4\) cm.
Exercice 4
Un cône a un rayon de \(7\) cm et une hauteur de \(24\) cm. Calculer sa génératrice.
Correction
\(g^2 = 49 + 576 = 625\), donc \(g = 25\) cm.
Exercice 5
Dans un repère orthonormé, \(A(-2\,;3)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(4\,;-5)\).
- Calculer \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
- Montrer que le triangle est rectangle.
Correction
- \(AB = 6\), \(BC = 8\), \(AC = \sqrt{36 + 64} = 10\).
- \(100 = 36 + 64\) : d'après la réciproque, le triangle est rectangle en \(B\).
Exercice 6
Une échelle de \(6{,}5\) m est posée contre un mur ; son pied est à \(2{,}5\) m du mur.
- À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
- Si on éloigne le pied de \(1\) m de plus, de combien descend le sommet ?
Correction
- \(h^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36\), donc \(h = 6\) m.
- Avec \(3{,}5\) m : \(h^2 = 42{,}25 - 12{,}25 = 30\), donc \(h = \sqrt{30}\approx5{,}48\) m : le sommet descend d'environ \(0{,}52\) m.
Exercice 7
Un triangle \(ABC\) a pour côtés \(AB = 9\) cm, \(AC = 40\) cm et \(BC = 41\) cm.
- Montrer qu'il est rectangle et préciser en quel sommet.
- Calculer son aire et la hauteur issue de l'angle droit.
Correction
- \(41^2 = 1\,681 = 81 + 1\,600\) : il est rectangle en \(A\).
- \(\mathcal{A} = \dfrac{9\times40}{2} = 180\ \mathrm{cm}^2\) ; \(AH = \dfrac{2\times180}{41}\approx8{,}8\) cm.