L'essentiel en une page
Théorème. Si \((MN)\parallel(BC)\) dans une configuration de Thalès :
\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\]
Réciproque. Si les points sont alignés dans le même ordre et si \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\), alors \((MN)\parallel(BC)\).
| Ce que je sais | Ce que je cherche | J'utilise |
|---|---|---|
| le parallélisme | une longueur | le théorème |
| deux quotients égaux | un parallélisme | la réciproque |
Agrandissement de rapport \(k\) : longueurs \(\times k\) · aires \(\times k^2\) · volumes \(\times k^3\) · angles inchangés.
Le théorème des milieux est le cas \(k = \dfrac12\).
Ce que je dois savoir faire
- Reconnaître une configuration de Thalès (triangle ou papillon).
- Écrire la triple égalité dans le bon ordre.
- Calculer une longueur avec le produit en croix.
- Démontrer un parallélisme avec la réciproque.
- Résoudre un problème concret (hauteur d'un arbre, largeur d'une rivière, maquette).
Les pièges à éviter
- Écrire les quotients dans le même ordre : petit sur grand des deux côtés.
- Le théorème calcule ; seule la réciproque démontre un parallélisme.
- Pour la réciproque, vérifier aussi l'ordre des points.
- Aires \(\times k^2\) et volumes \(\times k^3\), pas \(\times k\).
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\(AM = 3\), \(AB = 12\), \(AC = 16\) : combien vaut \(AN\) ? Rapport \(\frac34\) et \(BC = 16\) : combien vaut \(MN\) ? Agrandissement de rapport \(5\) : que devient une aire de \(4\ \mathrm{cm}^2\) ?
Réponses
\(AN = 4\) ; \(MN = 12\) ; \(100\ \mathrm{cm}^2\).