Durée : 45 minutes. Barème sur 20. Les démonstrations doivent être rédigées.
Exercice 1 (6 pts)
Dans un triangle \(ABC\), \(M\in[AB]\), \(N\in[AC]\) et \((MN)\parallel(BC)\). On donne \(AM = 6\) cm, \(AB = 15\) cm et \(AC = 20\) cm.
- Écrire la triple égalité de Thalès. (2 pts)
- Calculer \(AN\). (2 pts)
- Si \(BC = 25\) cm, calculer \(MN\). (2 pts)
Correction
- \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).
- \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{AN}{20}\), donc \(AN = 8\) cm.
- \(MN = \dfrac{6}{15}\times25 = 10\) cm.
Exercice 2 (6 pts)
Dans un triangle \(ABC\), \(AB = 14\) cm, \(AC = 21\) cm, \(AM = 10\) cm et \(AN = 15\) cm.
- Calculer les deux quotients. (3 pts)
- Que peut-on en conclure ? Rédiger la démonstration. (3 pts)
Correction
- \(\dfrac{10}{14} = \dfrac57\) et \(\dfrac{15}{21} = \dfrac57\).
- On sait que les points sont alignés dans le même ordre et que les quotients sont égaux. Or, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont alors parallèles. Donc \((MN)\parallel(BC)\).
Exercice 3 (4 pts)
Un agrandissement a un rapport de \(4\).
- Que devient une longueur de \(7\) cm ? (1 pt)
- Que devient une aire de \(10\ \mathrm{cm}^2\) ? (1 pt)
- Que devient un volume de \(5\ \mathrm{cm}^3\) ? (2 pts)
Correction
- \(28\) cm. 2. \(160\ \mathrm{cm}^2\). 3. \(320\ \mathrm{cm}^3\).
Exercice 4 (4 pts)
Pour mesurer la largeur d'une rivière, on utilise une configuration de Thalès : \(AM = 5\) m, \(AB = 20\) m et \(MN = 8\) m. Calculer \(BC\), la largeur cherchée.
Correction
\(\dfrac{5}{20} = \dfrac{8}{BC}\), donc \(BC = \dfrac{8\times20}{5} = 32\) m.