Série 2 — configuration papillon, démonstrations et problèmes concrets.
Exercice 1
Les droites \((BM)\) et \((CN)\) se coupent en \(A\), avec \(M\) et \(N\) de part et d'autre de \(A\) (configuration papillon) et \((MN)\parallel(BC)\). On donne \(AM = 4\), \(AB = 6\) et \(BC = 9\). Calculer \(MN\).
Correction
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), donc \(\dfrac46 = \dfrac{MN}{9}\) et \(MN = 6\).
Exercice 2
Dans un triangle \(ABC\), \(M\in[AB]\) avec \(AM = 2\) cm et \(MB = 3\) cm, et \((MN)\parallel(BC)\) avec \(N\in[AC]\).
- Calculer \(AB\).
- Donner le rapport \(\dfrac{AM}{AB}\).
- Si \(BC = 10\) cm, calculer \(MN\).
Correction
- \(AB = 5\) cm. 2. \(\dfrac25\). 3. \(MN = \dfrac25\times10 = 4\) cm.
Exercice 3
Dans un triangle \(ABC\), \(AB = 12\) cm, \(AC = 18\) cm. \(M\in[AB]\) avec \(AM = 8\) cm et \(N\in[AC]\) avec \(AN = 12\) cm.
- Montrer que \((MN)\parallel(BC)\).
- Si \(BC = 21\) cm, calculer \(MN\).
Correction
- \(\dfrac{8}{12} = \dfrac23\) et \(\dfrac{12}{18} = \dfrac23\) : d'après la réciproque de Thalès, \((MN)\parallel(BC)\).
- \(MN = \dfrac23\times21 = 14\) cm.
Exercice 4
Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on place un bâton de \(1{,}5\) m à \(2\) m de l'observateur ; l'arbre est à \(14\) m de lui et le sommet du bâton est aligné avec le sommet de l'arbre.
- Expliquer pourquoi on est dans une configuration de Thalès.
- Calculer la hauteur de l'arbre.
Correction
- Les rayons visuels forment deux droites sécantes à l'œil, coupées par le bâton et l'arbre, tous deux verticaux donc parallèles.
- \(\dfrac{2}{14} = \dfrac{1{,}5}{h}\), donc \(h = \dfrac{1{,}5\times14}{2} = 10{,}5\) m.
Exercice 5
Une maquette d'immeuble est à l'échelle \(\dfrac{1}{50}\). La maquette a une hauteur de \(40\) cm et un volume de \(12\,000\ \mathrm{cm}^3\).
- Calculer la hauteur réelle.
- Calculer le volume réel en \(\mathrm{m}^3\).
Correction
- \(40\times50 = 2\,000\) cm \(= 20\) m.
- \(12\,000\times50^3 = 12\,000\times125\,000 = 1{,}5\times10^9\ \mathrm{cm}^3 = 1\,500\ \mathrm{m}^3\).
Exercice 6
Dans un triangle \(ABC\), \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\). Retrouver le théorème des milieux à partir de Thalès.
Correction
\(\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AJ}{AC} = \dfrac12\) donc, d'après la réciproque, \((IJ)\parallel(BC)\). Puis le théorème donne \(\dfrac{IJ}{BC} = \dfrac12\), soit \(IJ = \dfrac{BC}{2}\).