L'essentiel en une page
Définition : pour \(a\ge0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif tel que \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\). La racine d'un négatif n'existe pas.
| Propriété | Écriture |
|---|---|
| Produit | \(\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}\) |
| Quotient | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) |
| Carré | \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) et \(\sqrt{a^2} = a\) si \(a\ge0\) |
| Équation \(x^2 = a\) (\(a>0\)) | \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\) |
Simplifier : extraire le plus grand carré parfait — \(\sqrt{72} = \sqrt{36\times2} = 6\sqrt2\).
Dénominateur rationnel : \(\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\).
Carrés parfaits : \(1\), \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\), \(64\), \(81\), \(100\), \(121\), \(144\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer et simplifier une racine carrée.
- Utiliser les règles du produit et du quotient.
- Réduire une somme de racines semblables.
- Rendre un dénominateur rationnel.
- Développer avec les identités remarquables et des racines.
- Résoudre \(x^2 = a\) et l'utiliser en géométrie.
Les pièges à éviter
- \(\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
- \(\sqrt{(-5)^2} = 5\), pas \(-5\).
- \(x^2 = 25\) a deux solutions : \(5\) et \(-5\).
- On n'additionne que des racines semblables : \(\sqrt2 + \sqrt3\) ne se réduit pas.
Testez-vous en 3 minutes
Simplifier \(\sqrt{98}\) ; calculer \(\sqrt3\times\sqrt{48}\) ; réduire \(\sqrt{20} + \sqrt{45}\) ; résoudre \(x^2 = 81\).
Réponses
\(7\sqrt2\) ; \(12\) ; \(2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5\) ; \(x = 9\) ou \(x = -9\).