Série 2 — développements, identités et géométrie.
Exercice 1
Développer et réduire : \(A = \left(\sqrt3 + 2\right)^2\).
Correction
\(A = 3 + 4\sqrt3 + 4 = 7 + 4\sqrt3\).
Exercice 2
Développer : \(B = \left(\sqrt5 - 1\right)\left(\sqrt5 + 1\right)\).
Correction
\(B = 5 - 1 = 4\).
Exercice 3
Développer et réduire : \(C = \left(2\sqrt2 + 3\right)^2 - \left(2\sqrt2 - 3\right)^2\).
Correction
\(C = (8 + 12\sqrt2 + 9) - (8 - 12\sqrt2 + 9) = 24\sqrt2\).
Exercice 4
Réduire \(D = \sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{98}\).
Correction
\(D = 5\sqrt2 - 4\sqrt2 + 7\sqrt2 = 8\sqrt2\).
Exercice 5
Rendre le dénominateur rationnel : \(E = \dfrac{3}{\sqrt3}\) et \(F = \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt8}\).
Correction
\(E = \dfrac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3\) ; \(F = \sqrt{\dfrac{12}{8}} = \sqrt{\dfrac32} = \dfrac{\sqrt6}{2}\).
Exercice 6
Un carré a une aire de \(75\ \mathrm{cm}^2\).
- Donner la valeur exacte de son côté.
- Donner son périmètre en valeur exacte puis approchée.
Correction
- \(c = \sqrt{75} = 5\sqrt3\) cm.
- \(P = 20\sqrt3\approx34{,}6\) cm.
Exercice 7
Un triangle est rectangle avec des côtés de l'angle droit de \(\sqrt{12}\) cm et \(\sqrt{24}\) cm.
- Calculer l'hypoténuse en valeur exacte.
- Calculer l'aire du triangle.
Correction
- \(h^2 = 12 + 24 = 36\), donc \(h = 6\) cm.
- \(\mathcal{A} = \dfrac{\sqrt{12}\times\sqrt{24}}{2} = \dfrac{\sqrt{288}}{2} = \dfrac{12\sqrt2}{2} = 6\sqrt2\approx8{,}5\ \mathrm{cm}^2\).