Série 2 — démonstrations, calculs de longueurs et d'aires.
Exercice 1
\(ABC\) est un triangle, \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) avec \((MN)\) parallèle à \((BC)\).
- Montrer que \(AMN\) et \(ABC\) sont semblables.
- Avec \(AM = 3\), \(AB = 7{,}5\) et \(BC = 10\), calculer \(MN\).
Correction
- L'angle \(\widehat A\) est commun et \(\widehat{AMN} = \widehat{ABC}\) (angles correspondants, droites parallèles) : deux angles égaux, donc les triangles sont semblables.
- \(k = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\), donc \(MN = 10\times0{,}4 = 4\).
Exercice 2
Deux triangles semblables ont des périmètres de \(12\) cm et \(30\) cm.
- Calculer le rapport de similitude.
- L'aire du plus petit est \(8\) cm² : calculer celle du plus grand.
Correction
- \(k = \dfrac{30}{12} = 2{,}5\).
- \(8\times2{,}5^2 = 8\times6{,}25 = 50\) cm².
Exercice 3
\(ABC\) est rectangle en \(A\), et \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\).
- Montrer que \(HBA\) et \(ABC\) sont semblables.
- En déduire que \(AB^2 = BH \times BC\).
Correction
- Les deux triangles sont rectangles (en \(H\) et en \(A\)) et partagent l'angle \(\widehat B\) : ils ont deux angles égaux, donc ils sont semblables.
- Les côtés homologues sont proportionnels : \(\dfrac{BA}{BC} = \dfrac{BH}{BA}\), d'où \(AB^2 = BH\times BC\).
Exercice 4
Un triangle a pour côtés \(6\) cm, \(8\) cm et \(10\) cm. Un triangle semblable a son plus grand côté égal à \(25\) cm.
- Calculer le rapport de similitude.
- Calculer les deux autres côtés.
- Calculer l'aire de chaque triangle.
Correction
- \(k = \dfrac{25}{10} = 2{,}5\).
- \(6\times2{,}5 = 15\) cm et \(8\times2{,}5 = 20\) cm.
- Le premier est rectangle (\(100 = 36 + 64\)) : son aire vaut \(\dfrac{6\times8}{2} = 24\) cm² ; celle du second vaut \(24\times6{,}25 = 150\) cm².
Exercice 5
Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(O\), avec \((AC)\) parallèle à \((BD)\).
- Montrer que \(OAC\) et \(OBD\) sont semblables.
- Avec \(OA = 4\), \(OB = 6\) et \(AC = 5\), calculer \(BD\).
Correction
- \(\widehat{AOC} = \widehat{BOD}\) (opposés par le sommet) et \(\widehat{OAC} = \widehat{OBD}\) (alternes-internes) : les triangles sont semblables.
- \(k = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\), donc \(BD = 5\times1{,}5 = 7{,}5\).
Exercice 6
Une maquette de pyramide est une réduction de rapport \(k = \dfrac{1}{50}\) de la pyramide réelle.
- Une arête réelle mesure \(200\) m : combien mesure-t-elle sur la maquette ?
- L'aire d'une face de la maquette est \(0{,}8\) m² : calculer l'aire de la face réelle.
Correction
- \(200 \times \dfrac{1}{50} = 4\) m.
- L'aire est multipliée par \(k^2 = \dfrac{1}{2\,500}\), donc l'aire réelle vaut \(0{,}8\times2\,500 = 2\,000\) m².