Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
\(ABC\) : \(AB = 6\), \(AC = 8\), \(BC = 10\). \(A'B'C'\) : \(A'B' = 9\), \(A'C' = 12\), \(B'C' = 15\).
- Montrer que les deux triangles sont semblables et donner le rapport. (3 pts)
- Montrer que \(ABC\) est rectangle et calculer son aire. (3 pts)
- En déduire l'aire de \(A'B'C'\). (2 pts)
Correction
- \(\frac96 = \frac{12}{8} = \frac{15}{10} = 1{,}5\) : semblables de rapport \(1{,}5\).
- \(36 + 64 = 100\) : rectangle en \(A\) ; aire \(\frac{6\times8}{2} = 24\).
- \(24\times1{,}5^2 = 54\).
Exercice 2 (6 pts)
\(O\) est le milieu commun de \([AB]\) et \([CD]\). Montrer que les triangles \(OAC\) et \(OBD\) sont isométriques.
Correction
\(OA = OB\), \(OC = OD\) et \(\widehat{AOC} = \widehat{BOD}\) (angles opposés par le sommet) : cas CAC.
Exercice 3 (6 pts)
\(ABC\) est rectangle en \(A\) et \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\).
- Montrer que les triangles \(ABH\) et \(CBA\) sont semblables. (3 pts)
- En déduire que \(AB^2 = BH\times BC\), puis calculer \(BH\) si \(AB = 6\) et \(BC = 10\). (3 pts)
Correction
- Ils ont l'angle \(\widehat B\) en commun et un angle droit (\(\widehat{AHB} = \widehat{BAC} = 90°\)) : ils sont semblables.
- \(\frac{AB}{CB} = \frac{BH}{BA}\), donc \(AB^2 = BH\times BC\). \(BH = \frac{36}{10} = 3{,}6\).