1. Vecteur
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par sa direction (celle de \((AB)\)), son sens (de \(A\) vers \(B\)) et sa norme (la longueur \(AB\)).
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si et seulement si \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Le vecteur nul \(\overrightarrow{AA} = \vec0\). Le vecteur \(\overrightarrow{BA}\) est l'opposé de \(\overrightarrow{AB}\) : \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).
2. Somme de vecteurs
Relation de Chasles : pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Règle du parallélogramme : si \(ABCD\) est un parallélogramme, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
3. Translation
La translation de vecteur \(\vec u\) transforme un point \(M\) en \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec u\).
Figure — le triangle A'B'C' est l'image de ABC par la translation de vecteur u
Propriétés
La translation conserve les distances, les mesures d'angles, l'alignement et le parallélisme. L'image d'un segment est un segment de même longueur ; l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
4. Coordonnées
Si \(\vec u(a\,;b)\) et \(M(x\,;y)\), l'image de \(M\) par la translation de vecteur \(\vec u\) est \(M'(x + a\,;y + b)\).