Exercice 1
Simplifier : \(\vec u = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\) ; \(\vec v = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\) ; \(\vec w = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{NP}\).
Correction
\(\vec u = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec0\). \(\vec v = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}\). \(\vec w = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PP} = \vec0\).
Exercice 2
\(A(1\,;2)\), \(B(4\,;-1)\) et \(C(-2\,;0)\). Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) puis celles de \(D\) tel que \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\).
Correction
\(\overrightarrow{AB}(3\,;-3)\). \(D(-2 + 3\,;0 - 3) = D(1\,;-3)\).
Exercice 3
Donner l'image du point \(A(2\,;5)\) par la translation de vecteur \(\vec u(-3\,;1)\).
Correction
\(A'(2 - 3\,;5 + 1) = A'(-1\,;6)\).
Exercice 4
\(ABC\) est un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). Montrer que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}\).
Correction
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{AI} + (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}) = 2\overrightarrow{AI}\), car \(\overrightarrow{IC} = -\overrightarrow{IB}\).
Exercice 5
Un segment \([EF]\) mesure \(5\) cm. Par une translation, il a pour image \([E'F']\). Que vaut \(E'F'\) ? Quelle est la nature du quadrilatère \(EFF'E'\) ?
Correction
La translation conserve les distances : \(E'F' = 5\) cm. \(\overrightarrow{EE'} = \overrightarrow{FF'}\), donc \(EFF'E'\) est un parallélogramme.