Durée : 45 minutes. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Simplifier : \(\vec u = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}\) et \(\vec v = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AB}\).
Correction
\(\vec u = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\). \(\vec v = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BB} = \vec0\).
Exercice 2 (8 pts)
\(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;4)\) et \(C(5\,;-2)\).
- Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\). (2 pts)
- Déterminer \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme. (4 pts)
- Vérifier que \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu. (2 pts)
Correction
- \(\overrightarrow{AB}(4\,;2)\).
- \(ABCD\) parallélogramme \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) : \(5 - x_D = 4\), \(-2 - y_D = 2\), donc \(D(1\,;-4)\).
- Milieu de \([AC]\) : \((2\,;0)\) ; milieu de \([BD]\) : \(\left(\frac{3 + 1}{2}\,;\frac{4 - 4}{2}\right) = (2\,;0)\).
Exercice 3 (6 pts)
Déterminer l'image \(E\) du point \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\), puis la nature de \(ABEC\).
Correction
\(E(5 + 4\,;-2 + 2) = E(9\,;0)\). \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}\), donc \(ABEC\) est un parallélogramme.