L'essentiel en une page
Un vecteur \(\vec{AB}\) a une direction, un sens et une norme \(\lVert\vec{AB}\rVert = AB\).
| Formule | Écriture |
|---|---|
| Coordonnées | \(\vec{AB}(x_B - x_A\,;y_B - y_A)\) |
| Norme (repère orthonormé) | \(\sqrt{x^2 + y^2}\) |
| Somme | \((x + x'\,;y + y')\) |
| Chasles | \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) |
| Vecteur nul | \(\vec{AA} = \vec0\) |
| Opposé | \(\vec{BA} = -\vec{AB}\) |
Égalité : \(\vec{AB} = \vec{CD} \iff ABDC\) est un parallélogramme \(\iff\) mêmes coordonnées.
Parallélogramme \(ABCD\) : \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
La translation conserve longueurs, angles, aires et parallélisme.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur.
- Reconnaître deux vecteurs égaux.
- Utiliser la relation de Chasles pour simplifier une somme.
- Construire l'image d'un point par une translation.
- Trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme avec les vecteurs.
Les pièges à éviter
- \(\vec{AB} \ne \vec{BA}\) : ce sont des vecteurs opposés.
- Dans les coordonnées, c'est toujours arrivée moins départ.
- Pour \(ABCD\) parallélogramme, écrire \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (et non \(\vec{CD}\)).
- La norme n'est pas une coordonnée : c'est une longueur, toujours positive.
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Coordonnées de \(\vec{AB}\) avec \(A(3\,;-2)\), \(B(8\,;4)\) ? Norme de \(\vec u(5\,;12)\) ? Simplifier \(\vec{EF} + \vec{FG}\) ? Image de \((2\,;7)\) par la translation de vecteur \((-3\,;4)\) ?
Réponses
\((5\,;6)\) ; \(13\) ; \(\vec{EG}\) ; \((-1\,;11)\).