Série 2 — parallélogrammes, Chasles et démonstrations.
Exercice 1
\(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;4)\) et \(C(5\,;1)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et de \(\vec{DC}\) en fonction de celles de \(D\).
- Déterminer \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Correction
- \(\vec{AB}(4\,;2)\) et \(\vec{DC}(5 - x_D\,;1 - y_D)\).
- \(ABCD\) est un parallélogramme si \(\vec{AB} = \vec{DC}\) : \(5 - x_D = 4\) et \(1 - y_D = 2\), donc \(D(1\,;-1)\).
Exercice 2
Simplifier : \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\) puis \(\vec{MN} + \vec{PM} + \vec{NP}\).
Correction
\(\vec{AD}\) ; \(\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PM} = \vec{MM} = \vec0\).
Exercice 3
\(\vec u(2\,;3)\), \(\vec v(-5\,;1)\) et \(\vec w(3\,;-4)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec u + \vec v\) puis de \(\vec u + \vec v + \vec w\).
- Que remarque-t-on ?
Correction
- \(\vec u + \vec v\) a pour coordonnées \((-3\,;4)\) ; la somme des trois a pour coordonnées \((0\,;0)\).
- \(\vec u + \vec v + \vec w = \vec0\).
Exercice 4
\(A(0\,;0)\), \(B(6\,;2)\), \(C(8\,;6)\) et \(D(2\,;4)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et de \(\vec{DC}\).
- En déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
Correction
- \(\vec{AB}(6\,;2)\) et \(\vec{DC}(6\,;2)\).
- \(\vec{AB} = \vec{DC}\) : \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exercice 5
\(\vec u(4\,;-3)\). La translation de vecteur \(\vec u\) transforme \(A(2\,;5)\) en \(A'\) et \(B(-1\,;0)\) en \(B'\).
- Calculer les coordonnées de \(A'\) et \(B'\).
- Calculer \(AB\) et \(A'B'\) : que constate-t-on ?
Correction
- \(A'(6\,;2)\) et \(B'(3\,;-3)\).
- \(AB = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\) et \(A'B' = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\) : la translation conserve les longueurs.
Exercice 6
\(I\) est le milieu de \([AB]\). Montrer que \(\vec{AI} = \vec{IB}\) en utilisant les coordonnées, avec \(A(1\,;3)\) et \(B(7\,;-1)\).
Correction
\(I(4\,;1)\) ; \(\vec{AI}(3\,;-2)\) et \(\vec{IB}(3\,;-2)\) : les coordonnées sont égales, donc \(\vec{AI} = \vec{IB}\).
Exercice 7
La translation de vecteur \(\vec u\) transforme \(A(1\,;2)\) en \(A'(6\,;-1)\).
- Déterminer les coordonnées de \(\vec u\).
- Déterminer l'antécédent \(M\) du point \(M'(3\,;3)\) par cette translation.
Correction
- \(\vec u(5\,;-3)\).
- \(x_M = 3 - 5 = -2\) et \(y_M = 3 + 3 = 6\) : \(M(-2\,;6)\).