Série 2 — natures de figures, démonstrations et aires.
Exercice 1
\(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;4)\) et \(C(5\,;0)\).
- Calculer \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
- Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?
Correction
- \(AB = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}\) ; \(BC = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}\) ; \(AC = \sqrt{36+4} = \sqrt{40}\).
- \(AB = BC\) : isocèle en \(B\). De plus \(40 = 20 + 20\) : il est aussi rectangle en \(B\).
Exercice 2
\(A(0\,;0)\), \(B(6\,;0)\), \(C(8\,;4)\), \(D(2\,;4)\).
- Calculer les milieux de \([AC]\) et de \([BD]\).
- Que peut-on en déduire ?
Correction
- Milieu de \([AC]\) : \((4\,;2)\) ; milieu de \([BD]\) : \((4\,;2)\).
- Les diagonales ont le même milieu : \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exercice 3
\(A(-2\,;1)\), \(B(2\,;4)\), \(C(5\,;0)\), \(D(1\,;-3)\).
- Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
- Calculer \(AB\) et \(BC\) : que peut-on préciser ?
Correction
- Milieu de \([AC]\) : \((1{,}5\,;0{,}5)\) ; milieu de \([BD]\) : \((1{,}5\,;0{,}5)\) : c'est un parallélogramme.
- \(AB = \sqrt{16+9} = 5\) et \(BC = \sqrt{9+16} = 5\) : deux côtés consécutifs égaux, c'est un losange.
Exercice 4
Calculer l'aire du triangle \(A(1\,;1)\), \(B(7\,;1)\), \(C(7\,;5)\).
Correction
\([AB]\) est horizontal (\(6\)) et \([BC]\) vertical (\(4\)) : le triangle est rectangle en \(B\) et \(\mathcal{A} = \dfrac{6\times4}{2} = 12\).
Exercice 5
Trouver les coordonnées du point \(M\) de l'axe des abscisses équidistant de \(A(1\,;3)\) et \(B(5\,;1)\).
Correction
\(M(x\,;0)\) avec \(MA^2 = MB^2\) : \((x-1)^2 + 9 = (x-5)^2 + 1\), donc \(x^2 - 2x + 10 = x^2 - 10x + 26\), \(8x = 16\) et \(x = 2\) : \(M(2\,;0)\).
Exercice 6
\(A(2\,;-1)\) et \(B(8\,;7)\). Calculer la longueur \(AB\) puis les coordonnées du centre et le rayon du cercle de diamètre \([AB]\).
Correction
\(AB = \sqrt{36 + 64} = 10\) ; le centre est le milieu \((5\,;3)\) et le rayon vaut \(5\).