1. Fonction linéaire
Une fonction linéaire de coefficient \(a\) associe à tout réel \(x\) le réel \(f(x) = ax\).
- \(f(x)\) est l'image de \(x\) ; \(x\) est un antécédent de \(f(x)\).
- Pour \(x\neq0\) : \(a = \frac{f(x)}{x}\).
- Elle traduit une situation de proportionnalité.
Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine ; \(a\) est son coefficient directeur.
Exemple : \(f(3) = 12\) donne \(a = 4\) ; l'image de \(-2\) est \(-8\) ; l'antécédent de \(20\) est \(5\).
Pourcentages
Augmenter de \(t\,\%\), c'est multiplier par \(1 + \frac{t}{100}\) ; diminuer de \(t\,\%\), c'est multiplier par \(1 - \frac{t}{100}\).
2. Fonction affine
Une fonction affine associe à \(x\) le réel \(g(x) = ax + b\). Si \(b = 0\), elle est linéaire ; si \(a = 0\), elle est constante.
Sa représentation graphique est une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\).
Figure — f(x) = 2x (linéaire) et g(x) = −x + 3 (affine)
Calcul de \(a\) et \(b\)
Pour \(x_1\neq x_2\) : \(a = \frac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2 - x_1}\), puis \(b = g(x_1) - ax_1\).
Exemple : \(g(1) = 5\) et \(g(3) = 9\) : \(a = \frac{9 - 5}{3 - 1} = 2\), \(b = 5 - 2 = 3\), donc \(g(x) = 2x + 3\).
3. Sens de variation
- Si \(a > 0\), la fonction est croissante (la droite « monte ») ;
- si \(a < 0\), elle est décroissante ;
- si \(a = 0\), elle est constante.