1. Définition
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues s'écrit \(\begin{cases}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{cases}\). Une solution est un couple \((x\,;y)\) qui vérifie les deux équations.
2. Méthode par substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre. Exemple : \(\begin{cases}2x + 3y = 13\\x - y = -1\end{cases}\). De la 2e : \(x = y - 1\). On remplace : \(2(y - 1) + 3y = 13\), \(5y = 15\), \(y = 3\) et \(x = 2\). Solution : \((2\,;3)\).
3. Méthode par combinaison
On multiplie les équations par des nombres choisis pour éliminer une inconnue en additionnant. Exemple : \(\begin{cases}3x + 2y = 12\\5x - 2y = 4\end{cases}\). On additionne : \(8x = 16\), \(x = 2\), puis \(3\times2 + 2y = 12\), \(y = 3\). Solution : \((2\,;3)\).
Vérification : on remplace toujours la solution dans les deux équations.
4. Interprétation graphique
Chaque équation correspond à une droite. La solution du système est le couple des coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Figure — les droites y = x + 1 et y = −x + 5 se coupent en (2 ; 3)
- Droites sécantes : une seule solution.
- Droites parallèles distinctes : aucune solution.
- Droites confondues : une infinité de solutions.