Série 2 — combinaisons avec multiplication, cas particuliers et problèmes.
Exercice 1
Résoudre \(\begin{cases} 2x + 3y = 23 \\ 5x - 2y = 10 \end{cases}\)
Correction
On multiplie la première par \(2\) et la seconde par \(3\) : \(4x + 6y = 46\) et \(15x - 6y = 30\). En additionnant : \(19x = 76\), donc \(x = 4\) et \(y = 5\) : \((4\,;5)\).
Exercice 2
Résoudre \(\begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ 6x - 8y = 5 \end{cases}\) et interpréter.
Correction
En multipliant la première par \(2\) : \(6x - 8y = 2\), ce qui contredit \(6x - 8y = 5\). Le système n'a aucune solution : les droites sont strictement parallèles.
Exercice 3
Résoudre \(\begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + 2y = 12 \end{cases}\) et interpréter.
Correction
La seconde équation est le double de la première : les deux droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.
Exercice 4
Dans une salle, il y a des chaises à \(4\) pieds et des tabourets à \(3\) pieds : \(20\) sièges et \(71\) pieds en tout. Combien de chacun ?
Correction
\(\begin{cases} c + t = 20 \\ 4c + 3t = 71 \end{cases}\). De la première : \(t = 20 - c\), donc \(4c + 60 - 3c = 71\) et \(c = 11\), \(t = 9\).
Exercice 5
Un spectacle vend des places à \(40\) dh (adultes) et \(25\) dh (enfants). On a vendu \(150\) places pour une recette de \(4\,650\) dh. Combien d'adultes et d'enfants ?
Correction
\(\begin{cases} a + e = 150 \\ 40a + 25e = 4\,650 \end{cases}\). \(e = 150 - a\) donne \(40a + 3\,750 - 25a = 4\,650\), donc \(15a = 900\), \(a = 60\) et \(e = 90\).
Exercice 6
Deux nombres sont tels que le double du premier augmenté du triple du second vaut \(31\), et le premier diminué du second vaut \(2\). Les trouver.
Correction
\(\begin{cases} 2x + 3y = 31 \\ x - y = 2 \end{cases}\) : \(x = y + 2\), donc \(2y + 4 + 3y = 31\), \(y = 5{,}4\) et \(x = 7{,}4\).
Exercice 7
Résoudre graphiquement \(\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 7 \end{cases}\) puis vérifier par le calcul.
Correction
Les deux droites se coupent au point \((2\,;3)\). Par le calcul : \(x + 1 = -2x + 7\), donc \(3x = 6\), \(x = 2\) et \(y = 3\).