L'essentiel en une page
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Relation | \(u_{n+1} = u_n+r\) | \(u_{n+1} = qu_n\) |
| Terme général | \(u_0+nr\) | \(u_0q^n\) |
| Somme de \(n\) termes | \(n\frac{u_0+u_{n-1}}{2}\) | \(u_0\frac{1-q^n}{1-q}\) |
Reconnaître : différence constante ⟹ arithmétique ; rapport constant ⟹ géométrique.
| Situation | Modèle |
|---|---|
| Intérêts simples | arithmétique |
| Intérêts composés | géométrique de raison \(1+t\) |
| Amortissement linéaire | arithmétique de raison \(-a\) |
| Croissance de \(t\,\%\) | géométrique |
Limite : si \(\lvert q\rvert<1\) alors \(q^n\to0\) ; si \(q>1\) alors \(q^n\to+\infty\).
Suite auxiliaire : pour \(u_{n+1} = au_n+b\), on pose \(v_n = u_n-\ell\) avec \(\ell = \dfrac{b}{1-a}\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\).
Durée de doublement : \((1+t)^n\ge2\) donne \(n\ge\dfrac{\ln2}{\ln(1+t)}\).
Ce que je dois savoir faire
- Reconnaître la nature d'une suite et donner son terme général.
- Calculer une somme de termes.
- Modéliser un placement ou un amortissement.
- Utiliser une suite auxiliaire géométrique.
- Déterminer une durée avec le logarithme.
Les pièges à éviter
- Le nombre de termes de \(u_0\) à \(u_n\) est \(n+1\).
- Taux de \(5\,\%\) : la raison est \(1{,}05\), pas \(0{,}05\).
- Arrondir seulement à la fin du calcul.
- Une durée en années se conclut à l'entier supérieur.
Testez-vous en 3 minutes
\(u_n\) si \(u_0 = 2\) et \(r = 5\) ? Raison pour \(+3\,\%\) ? \(\lim\left(\frac13\right)^n\) ? Somme \(1+2+\dots+10\) ?
Réponses
\(2+5n\) ; \(1{,}03\) ; \(0\) ; \(55\).