Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice (20 pts)
Le stock \(s_n\) (en tonnes) d'un entrepôt le mois \(n\) vérifie \(s_0 = 50\) et \(s_{n+1} = 0{,}6s_n + 30\).
- Calculer \(s_1\) et \(s_2\). (2 pts)
- On pose \(v_n = s_n - 75\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique. (4 pts)
- Exprimer \(s_n\) en fonction de \(n\). (3 pts)
- Montrer que \((s_n)\) est croissante. (3 pts)
- Calculer \(\lim s_n\) et interpréter. (3 pts)
- À partir de quel mois le stock dépasse-t-il \(74\) tonnes ? (5 pts)
Correction
- \(s_1 = 60\), \(s_2 = 66\).
- \(v_{n+1} = 0{,}6s_n + 30 - 75 = 0{,}6(s_n - 75) = 0{,}6v_n\), \(v_0 = -25\).
- \(s_n = 75 - 25\times0{,}6^n\).
- \(s_{n+1} - s_n = 25\times0{,}6^n(1 - 0{,}6) > 0\).
- \(0{,}6^n\to0\) : \(s_n\to75\) tonnes (stock d'équilibre).
- \(25\times0{,}6^n < 1\Leftrightarrow0{,}6^n < 0{,}04\Leftrightarrow n > \frac{\ln0{,}04}{\ln0{,}6}\approx6{,}3\) : à partir du mois \(n = 7\).