1. Définition
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F' = f\). Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(F + k\), \(k\in\mathbb{R}\).
2. Primitives usuelles
| \(f(x)\) | \(F(x)\) |
|---|---|
| \(a\) | \(ax\) |
| \(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n + 1}\) |
| \(\frac{1}{x^2}\) | \(-\frac1x\) |
| \(\frac{1}{\sqrt x}\) | \(2\sqrt x\) |
| \(\frac1x\) | \(\ln x\) (\(x > 0\)) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
3. Formes composées
- \(u'u^n\) a pour primitive \(\frac{u^{n+1}}{n + 1}\).
- \(\frac{u'}{u}\) a pour primitive \(\ln|u|\).
- \(u'e^u\) a pour primitive \(e^u\).
- \(\frac{u'}{\sqrt u}\) a pour primitive \(2\sqrt u\).
4. Application économique
Si l'on connaît le coût marginal \(C_m(q)\), le coût total est la primitive de \(C_m\) qui vaut les coûts fixes en \(q = 0\).
Exemple
\(C_m(q) = 2q + 5\) et coûts fixes \(200\) : \(C(q) = q^2 + 5q + 200\).