1. Définition et propriétés
\(\ln\) est définie sur \(]0 ; +\infty[\), strictement croissante, avec \(\ln1 = 0\), \(\ln e = 1\) et \((\ln x)' = \frac1x\).
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln a^n = n\ln a\]
2. Équations et inéquations
\(\ln a = \ln b\Leftrightarrow a = b\) ; \(\ln a < \ln b\Leftrightarrow a < b\) ; \(\ln x = k\Leftrightarrow x = e^k\).
3. Limites
\[\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x\to0^+}x\ln x = 0\]
4. Dérivée de \(\ln u\)
\((\ln u)' = \frac{u'}{u}\) pour \(u > 0\).
5. Applications économiques
- Durée de placement : \(C_0(1 + t)^n\ge C\Leftrightarrow n\ge\frac{\ln\frac{C}{C_0}}{\ln(1 + t)}\).
- Taux moyen : si une grandeur est multipliée par \(k\) en \(n\) ans, le taux annuel moyen est \(t\) avec \((1 + t)^n = k\).
Exemple
Doubler un capital à \(5\) % par an : \(1{,}05^n\ge2\Leftrightarrow n\ge\frac{\ln2}{\ln1{,}05}\approx14{,}2\), soit \(15\) ans.