1. Définition et propriétés
\(e^x\) est la réciproque de \(\ln\) : \(y = e^x\Leftrightarrow x = \ln y\). \(e^x > 0\), \(e^0 = 1\).
\[e^{a + b} = e^ae^b \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad (e^a)^n = e^{na}\]
2. Dérivée et variations
\((e^x)' = e^x\), \((e^u)' = u'e^u\). La fonction exponentielle est strictement croissante.
3. Limites
\[\lim_{x\to-\infty}e^x = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty}e^x = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x\to-\infty}xe^x = 0\]
4. Exponentielle de base \(a\)
\(a^x = e^{x\ln a}\) (\(a > 0\)). Elle modélise une croissance (\(a > 1\)) ou une décroissance (\(0 < a < 1\)) à taux constant.
5. Applications
- Évolution continue : \(P(t) = P_0e^{kt}\) (croissance si \(k > 0\)).
- Dépréciation d'un bien : \(V(t) = V_0e^{-kt}\).
Exemple
Une machine de \(80\,000\) DH perd de la valeur selon \(V(t) = 80\,000e^{-0{,}2t}\). Après \(5\) ans : \(V(5) = 80\,000e^{-1}\approx29\,430\) DH.