Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = (x + 2)e^{-x}\).
- Calculer \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\). (4 pts)
- Montrer que \(f'(x) = -(x + 1)e^{-x}\) et dresser le tableau de variation. (5 pts)
- Déterminer l'intersection de la courbe avec les axes. (3 pts)
- Écrire l'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\). (3 pts)
- Montrer que \(F(x) = -(x + 3)e^{-x}\) est une primitive de \(f\). (5 pts)
Correction
- En \(-\infty\) : \(x + 2\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\) : \(-\infty\). En \(+\infty\) : \(\frac{x}{e^x} + \frac{2}{e^x}\to0\).
- \(f'(x) = e^{-x} - (x + 2)e^{-x} = -(x + 1)e^{-x}\) : croissante sur \(]-\infty ; -1]\), décroissante sur \([-1 ; +\infty[\), maximum \(f(-1) = e\).
- Axe des ordonnées : \((0 ; 2)\). Axe des abscisses : \(x = -2\).
- \(f(0) = 2\), \(f'(0) = -1\) : \(y = -x + 2\).
- \(F'(x) = -e^{-x} + (x + 3)e^{-x} = (x + 2)e^{-x}\).