1. Définition
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) où \(F\) est une primitive de \(f\).
2. Propriétés
Chasles, linéarité, positivité (si \(f\ge0\) et \(a\le b\), l'intégrale est positive). Valeur moyenne de \(f\) sur \([a ; b]\) : \(\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx\).
3. Aire
Si \(f\ge0\) sur \([a ; b]\), \(\int_a^b f(x)\,dx\) est l'aire sous la courbe (en unités d'aire). Entre deux courbes : \(\int_a^b(f - g)\) si \(f\ge g\).
4. Applications économiques
- Coût total de production entre \(q_1\) et \(q_2\) à partir du coût marginal : \(\int_{q_1}^{q_2}C_m(q)\,dq\).
- Surplus du consommateur : si \(D\) est la fonction de demande et \((q_0 ; p_0)\) l'équilibre, \(S_c = \int_0^{q_0}D(q)\,dq - p_0q_0\).
Exemple
\(\int_0^2(3x^2 + 1)\,dx = [x^3 + x]_0^2 = 10\).