Exercice 1
Résoudre : \(e^{2x - 1} = e^{x + 2}\) ; \(e^x\le3\) ; \(e^{2x} - 4e^x + 3 = 0\).
Correction
\(x = 3\). \(x\le\ln3\). \(e^x = 1\) ou \(3\) : \(x = 0\) ou \(x = \ln3\).
Exercice 2
Calculer \(\lim_{x\to+\infty}(e^x - 2x)\) et \(\lim_{x\to-\infty}(x + 1)e^x\).
Correction
\(e^x\left(1 - \frac{2x}{e^x}\right)\to+\infty\). \(xe^x + e^x\to0\).
Exercice 3
Étudier les variations de \(f(x) = (2x - 1)e^x\).
Correction
\(f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x\) : décroissante sur \(]-\infty ; -\frac12]\), croissante sur \([-\frac12 ; +\infty[\).
Exercice 4
Avec \(V(t) = 80\,000e^{-0{,}2t}\), au bout de combien d'années la machine vaut-elle moins de \(20\,000\) DH ?
Correction
\(e^{-0{,}2t} < 0{,}25\Leftrightarrow t > \frac{\ln4}{0{,}2} = 5\ln4\approx6{,}93\) : à partir de \(7\) ans.