Exercice 1
Résoudre : \(\ln(x + 3) = \ln(2x - 1)\) ; \(\ln(x - 1)\ge0\) ; \(2\ln x = \ln(x + 6)\).
Correction
\(x + 3 = 2x - 1\), \(x = 4\). \(x\ge2\). Domaine \(x > 0\) : \(x^2 = x + 6\), \(x = 3\).
Exercice 2
Calculer \(\lim_{x\to+\infty}(x - 2\ln x)\) et \(\lim_{x\to0^+}\left(\frac1x + \ln x\right)\).
Correction
\(x\left(1 - \frac{2\ln x}{x}\right)\to+\infty\). \(\frac{1 + x\ln x}{x}\to+\infty\).
Exercice 3
Étudier les variations de \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0 ; +\infty[\).
Correction
\(f'(x) = 1 - \frac1x = \frac{x - 1}{x}\) : décroissante sur \(]0 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\), minimum \(f(1) = 1\).
Exercice 4
Un capital de \(40\,000\) DH est placé à \(4\) % composés. Au bout de combien d'années dépasse-t-il \(60\,000\) DH ?
Correction
\(1{,}04^n\ge1{,}5\Leftrightarrow n\ge\frac{\ln1{,}5}{\ln1{,}04}\approx10{,}3\) : \(11\) ans.