Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (12 pts)
Déterminer une primitive de :
- \(f_1(x) = 4x^3 - \frac{1}{x^2}\) (3 pts)
- \(f_2(x) = \frac{1}{2x + 1}\) sur \(]-\frac12 ; +\infty[\) (3 pts)
- \(f_3(x) = xe^{x^2}\) (3 pts)
- \(f_4(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) (3 pts)
Correction
- \(x^4 + \frac1x\). 2. \(\frac12\ln(2x + 1)\). 3. \(\frac12e^{x^2}\). 4. \(\sqrt{x^2 + 1}\).
Exercice 2 (8 pts)
La recette marginale d'une entreprise est \(R_m(q) = 120 - 4q\) (\(R(0) = 0\)) et son coût marginal \(C_m(q) = 2q + 30\) avec des coûts fixes de \(500\).
- Déterminer \(R(q)\) et \(C(q)\). (4 pts)
- En déduire le bénéfice \(B(q)\) et la quantité qui le maximise. (4 pts)
Correction
- \(R(q) = 120q - 2q^2\), \(C(q) = q^2 + 30q + 500\).
- \(B(q) = -3q^2 + 90q - 500\), \(B'(q) = -6q + 90 = 0\) pour \(q = 15\) ; \(B(15) = 175\).