Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
\((u_n)\) est arithmétique avec \(u_0 = 7\) et \(r = -2\). Calculer \(u_{12}\) et \(u_0+\dots+u_{12}\).
Correction
\(u_n = 7-2n\), donc \(u_{12} = 7-24 = -17\). \(S = 13\times\dfrac{7+(-17)}{2} = 13\times(-5) = -65\).
Exercice 2 (5 pts)
\((v_n)\) est géométrique avec \(v_0 = 3\) et \(q = 2\). Calculer \(v_6\) et \(v_0+\dots+v_6\).
Correction
\(v_6 = 3\times2^6 = 192\). \(S = 3\times\dfrac{2^7-1}{2-1} = 3\times127 = 381\).
Exercice 3 (5 pts)
Un capital de \(5\,000\) dirhams est placé à \(3\,\%\) par an. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) années et calculer \(C_8\).
Correction
\(C_n = 5\,000\times(1{,}03)^n\). \((1{,}03)^8\approx1{,}2668\), donc \(C_8\approx6\,334\) dirhams.
Exercice 4 (5 pts)
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 3u_n-4\). On pose \(v_n = u_n-2\).
- Montrer que \((v_n)\) est géométrique. (3 pts)
- En déduire \(u_n\). (2 pts)
Correction
- \(v_{n+1} = 3u_n-6 = 3(u_n-2) = 3v_n\) : géométrique de raison \(3\), avec \(v_0 = -1\).
- \(v_n = -3^n\), donc \(u_n = 2-3^n\).