Série 2 — suites arithmétiques, géométriques et modèles financiers.
Exercice 1
Soit \((u_n)\) arithmétique de premier terme \(u_0 = 5\) et de raison \(3\). Calculer \(u_9\) puis la somme \(u_0+u_1+\dots+u_9\).
Correction
\(u_n = 5+3n\), donc \(u_9 = 5+27 = 32\). \(S = 10\times\dfrac{u_0+u_9}{2} = 10\times\dfrac{5+32}{2} = 185\).
Exercice 2
Un capital de \(1\,000\) dirhams est placé à \(5\,\%\) par an. Soit \(v_n\) le capital après \(n\) années. Exprimer \(v_n\) et calculer \(v_{10}\).
Correction
\((v_n)\) est géométrique de raison \(1{,}05\) : \(v_n = 1\,000\times(1{,}05)^n\). \(v_{10} = 1\,000\times(1{,}05)^{10} \approx 1\,628{,}89\) dirhams.
Exercice 3
Au bout de combien d'années le capital de l'exercice 2 aura-t-il doublé ?
Correction
On cherche \(n\) tel que \((1{,}05)^n\ge2\), soit \(n\ge\dfrac{\ln2}{\ln1{,}05}\approx14{,}2\). Il faut donc 15 années.
Exercice 4
Soit \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \dfrac12u_n+3\). On pose \(v_n = u_n-6\).
- Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
- En déduire \(u_n\) et sa limite.
Correction
- \(v_{n+1} = u_{n+1}-6 = \dfrac12u_n-3 = \dfrac12(u_n-6) = \dfrac12v_n\) : géométrique de raison \(\dfrac12\), avec \(v_0 = -4\).
- \(v_n = -4\left(\dfrac12\right)^n\), donc \(u_n = 6-4\left(\dfrac12\right)^n\).
Comme \(\left(\dfrac12\right)^n\to0\), la suite converge vers \(6\).
Exercice 5
Calculer \(S = 1+\dfrac12+\dfrac14+\dots+\dfrac{1}{2^{9}}\).
Correction
C'est la somme de \(10\) termes d'une suite géométrique de raison \(\dfrac12\) :
Exercice 6
Une machine achetée \(80\,000\) dirhams perd \(8\,000\) dirhams de valeur chaque année (amortissement linéaire). Au bout de combien d'années sa valeur sera-t-elle nulle ?
Correction
\(V_n = 80\,000-8\,000n\) : c'est une suite arithmétique de raison \(-8\,000\). \(V_n = 0\) donne \(n = 10\) : la valeur comptable s'annule au bout de 10 ans.
Exercice 7
Un abonnement coûte \(200\) dirhams la première année et augmente de \(4\,\%\) par an. Quel est le coût total des \(5\) premières années ?
Correction
Les coûts forment une suite géométrique de premier terme \(200\) et de raison \(1{,}04\).
Avec \((1{,}04)^5\approx1{,}2167\) : \(S\approx200\times5{,}416 \approx 1\,083\) dirhams.